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奇函数与偶函数

2020-07-01



摘要:本文说明何谓「奇函数」与「偶函数」,以及其图形之特性:奇函数图形会对称原点,而偶函数的图形会对称 轴。另外还简要介绍奇函数与偶函数的一些性质。

何谓「奇函数」?对定义域内每个 \(x\),函数 \(f(x)\) 恆有 \(f(-x)=-f(x)\) ,则称 \(f(x)\) 为奇函数。

在多项式函数中,只要是奇数次的单项次函数如 \(f(x)=x\)、\(f(x)=x^3\)、\(f(x)=x^{2k-1}(k\in N)\) 统统都是奇函数。

更进一步地,一个多项式函数中的每一项若都是奇数次,例如

\(f(x)=a_{2k-1}x^{2k-1}+a_{2k-3}x^{2k-3}+\cdots+a_1x,~~~k\in\mathbb{N}\)

,由定义可得

\(\begin{array}{ll}f(-x)&=a_{2k-1}(-x)^{2k-1}+a_{2k-3}(-x)^{2k-3}+……+a_1(-x) \\&= -(a_{2k-1}x^{2k-1}+a_{2k-3}x^{2k-3}+……+a_1x)\end{array}\)

,即得 \(f(x)\) 是奇函数。

至于「偶函数」,就是对定义域内每个 \(f(x)\),函数 \(f(x)\) 恆有 \(f(-x)=f(x)\) 时,就称 \(f(x)\) 为偶函数。

在多项式函数中,只要是偶数次的单项次函数以及常数函数如 \(f(x)=1\)、\(f(x)=x^2\)、\(f(x)=x^{2k} (k\in N)\) 统统都是偶函数。仿照奇函数的推论可以知道,一个多项式函数中的每一项若都是偶数次或是常数项,则这个函数就会是偶函数。

从上述的定义,我们还可以推知奇函数与偶函数图形的特徵。先看奇函数,若点 \((a,b)\) 在 \(f(x)\) 的图形上,即 \(f(a)=b\),从定义可得知 \(f(-a)=-f(a)=-b\),所以点 \((-a,-b)\) 也会在图形上。也就是说,奇函数 \(f(x)\) 的图形会对称原点。如下图几个例子:

奇函数与偶函数

至于偶函数,若 \((a,b)\) 在 \(f(x)\) 的图形上,即 \(f(a)=b\),从定义可得知 \(f(-a)=f(a)=b\),所以点 \((-a,b)\) 也会在图形上。也就是说,偶函数 \(f(x)\) 的图形会对称原点。如下图几个例子:

奇函数与偶函数

有了奇函数与偶函数的定义之后,我们还可以进一步得到:「任何一个函数 \(f(x)\) 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数的和。」这个性质就比较不那幺直观了,但仔细观察下列两个函数:

\(\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\)、\(\displaystyle h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\)

,可以发现 \(g(x)\) 正是一个奇函数,\(h(x)\) 正是一个偶函数,而 \(g(x)+h(x)=f(x)\)。

原来要将一个函数分解成奇函数与偶函数的和,不需要从茫茫「函数」海中去找,从 \(f(x)\) 反求诸己就可以找到答案了。有兴趣的读者还可以尝试证明,这种分解方式是唯一的。

奇函数与偶函数还有许多其他的性质,在此仅列出可以用多项式函数理解、验证的性质,供读者自行验证:


参考资料



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